Il y a plusieurs façons d’aborder la fonction logarithme :
- Fonction réciproque de la fonction exponentielle (sans avoir étudié la dérivation et l’intégration).
- Fonction primitive de la fonction \( f(x) = \dfrac{1}{x} \) qui s’annule pour \( x = 1 \) (sans avoir étudié l’intégration)
- Définition par l’intégrale.
La définition du logarithme népérien par l’intégrale est abordée ici.
La fonction logarithme népérien
Rappelons la règle générale :
$$ \int x^ndx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C \qquad n \ne -1 $$
Par conséquent, nous n’avons pas encore de primitive pour la fonction \(f(x) = \dfrac{1}{x} \). Cette fonction particulière est la fonction logarithme naturelle ou logarithme népérien.
La fonction logarithme népérien est définie par :
$$
\ln x = \int_1^x \dfrac{1}{t}dt \qquad x \gt 0
$$Le domaine de la fonction logarithme népérien est l’ensemble
de tous les nombres réels strictement positifs.
\( \ln x \) est positif pour \( x \gt 1 \) et négatif pour \( 0 \lt x \lt 1 \). Compte tenu de la définition : \( \ln 1 = 0 \)
Pour le graphe de la fonction \(f(x) = \ln(x) \), la pente est \( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{x} \).
La fonction logarithme néperien a les propriétés suivantes :
- le domaine est \( ] 0;\infty[ \) et l’intervalle \( ] -\infty ; + \infty[ \).
- la fonction est continue, croissante.
- la fonction est concave.
Le domaine de \(f(x) = \ln(x) \) est \( ] 0;\infty[ \) par définition.
La fonction est continue car elle est dérivable.
La fonction est croissante car la fonction dérivée \(f'(x) = \dfrac{1}{x} \) est positive pour \(x \gt 0 \).
La fonction est concave car la fonction dérivée seconde \(f^{''}(x) = -\dfrac{1}{x^2} \) est négative pour \(x \gt 0 \).
Si \(a\) et \(b\) sont des nombres positifs et \(n\) un rationnel, les propriétés ci-dessous sont vraies :
$$\begin{align*}
\ln 1 &= 0 \qquad & \qquad \ln(ab) &= \ln(a) + \ln(b) \\[8pt]
\ln (a^n) &= n \ln a \qquad & \qquad \ln\left(\dfrac{a}{b}\right) &= \ln(a) - \ln(b)
\end{align*}
$$
\( \dfrac{d\ln x}{dx} = \dfrac{1}{x} \qquad \textrm{et} \qquad \dfrac{d\ln (ax)}{dx} = \dfrac{1}{ax} \cdot {a} = \dfrac{1}{x} \)
Donc les fonctions \(\ln x\) et \(\ln (ax)\) ont la même fonction dérivée \(\dfrac{1}{x}\). Elles ne diffèrent donc que d’une constante.
\(\ln (ax) = \ln x + C\)
Pour \(x =1\), \(\ln x =0\), donc \(\ln (a) = C \implies \ln (ax) = \ln x + \ln a\)
À partir de la démonstration précédente, il découle : \(\ln (x^n)= n\ln x \)
et \(\ln \left(\dfrac{a}{x}\right)= \ln(a \cdot x^{-1}) = \ln a + \ln(x^{-1}) = \ln a - \ln x\)
$$
\qquad \qquad \lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty \qquad \qquad \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty
$$
Soit \(M\) un réel strictement positif.
Soit \(n\) le plus petit entier naturel tel que : \(n \geq \dfrac{M}{\ln 2} \Longleftrightarrow n \ln 2 \geq M\ \Longleftrightarrow \ln 2^n \geq M\)
\( \ln\) est une fonction croissante, donc pour tout \( x \geq 2^n \) : \( \ln(x) \geq \ln(2^n) \geq M \).
donc \( \displaystyle{ \lim_{x \to +\infty} \ln x = + \infty } \)
\( \ln x = - ln \left( \dfrac{1}{x} \right) \)
\( \displaystyle{ \lim_{x \to 0^+} \left( \dfrac{1}{x} \right) = + \infty } \), donc \( \displaystyle{ \lim_{x \to 0^+} \ln \left( \dfrac{1}{x} \right) = + \infty } \implies \displaystyle{ \lim_{x \to 0^+} \ln x = - \infty } \)
Développer :
\( \ln \sqrt{3x+2} \)
\( \ln \dfrac{6x}{5} \)
\( \ln \dfrac{(x^2 +3)^2}{x\sqrt[3]{x^2+1}} \)
Le nombre e
La fonction logarithme népérien est continue et son intervalle est \( ] -\infty;+\infty [\).
Donc il existe un nombre réel unique \( x\), tel que \( \ln x = 1\). Ce nombre est noté \(e\). Il peut être montré que \(e\) est un irrationnel, son approximation décimale est :
$$ e \approx 2.71828182846 $$
La lettre \(e\) est le nombre réel positif pour lequel
$$ \ln e = \int_1^e \dfrac{1}{dt} dt= 1 $$
En appliquant les propriétés des logarithmes :
$$
\ln(e^x) = x
$$
\( \ln(e^x) = x \ln e = x\)
Dérivation de la fonction logarithme népérien
Soit \(u\) une fonction dérivable en \(x\) :
$$\begin{align*}
& \dfrac{d \ln x}{dx} = \dfrac{1}{x}, \qquad x \gt 0 \\[8pt]
& \dfrac{d \ln u}{dx} = \dfrac{1}{u}\dfrac{du}{dx} = \dfrac{u'}{u}, \qquad u \gt 0
\end{align*}$$
Dériver :
\( \ln 2x \)
\( \ln (x^2 + 1) \)
\( x \ln x \)
\( (\ln x)^3 \)
Simplifier les expressions logarithmiques en utilisant ses propriétés, puis dériver :
\( \ln \sqrt{x + 1} \)
\( \ln \dfrac{x(x^2+1)^2}{\sqrt{2x^3 - 1}} \)
Si \(u\) est dérivable en \(x\) tel que \(u \neq 0 \), alors :
$$\begin{align*}
& \dfrac{d \ln \abs{u} }{dx} = \dfrac{u'}{u}
\end{align*}
$$
Si \( u \gt 0, \abs{u} = u \), théorème déjà démontré
Si \( u \lt 0, \abs{u} = -u \) :
$$\begin{align*}
\dfrac{d \ln \abs{u} }{dx} &= \dfrac{d \ln (-u) }{dx} \\[8pt]
&= \dfrac{ -u' }{-u} \\[8pt]
&= \dfrac{u'}{u}
\end{align*}$$
Dériver \( \ln \abs{\cos x} \)
Dérivation logarithmique
Soit la fonction \( f(x) = \dfrac{(x-2)^2}{\sqrt{x^2 + 1}} , x \ne 2\) à dériver.
En appliquant la règle du quotient : \( \left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - g'f}{g^2} \)
$$ \begin{align*}
f'(x) &= \left(\dfrac{ 2(x-2) \cdot \sqrt{x^2 + 1} - \dfrac{1}{2 \sqrt{x^2 + 1} } (2x) \cdot (x-2)^2 }{ (\sqrt{x^2 + 1})^2 }\right) \\[8pt]
&= \dfrac{ 2(x-2)(x^2 + 1) - x (x-2)^2 }{ (\sqrt{x^2 + 1})^3 } \\[8pt]
&= \dfrac{ (x-2) (2 (x^2 + 1) -x (x-2)) }{ (\sqrt{x^2 + 1})^3 } \\[8pt]
&= \dfrac{ (x-2) (x^2 + 2x + 2) }{ (\sqrt{x^2 + 1})^3 } \\[8pt]
\end{align*} $$
Dérivons cette fonction en utilisant à présent : \( \dfrac{d \ln f(x)}{dx} = \dfrac{f'(x)}{f(x)} , x \ne 2\).
$$ \begin{align*}
\ln f(x) &= \ln((x-2)^2) - \ln (\sqrt{x^2 + 1}) \\[8pt]
&= 2 \ln(x-2) - \dfrac{1}{2} \ln (x^2 + 1) \\[15pt]
\dfrac{d \ln f(x)}{dx} &= \dfrac{2}{x-2} - \dfrac{1}{2} \dfrac{2x}{x^2 +1} \\[8pt]
&= \dfrac{2}{x-2} - \dfrac{x}{x^2 +1} \\[8pt]
&= \dfrac{2x^2 + 2 - x^2 + 2x}{ (x-2) (x^2 +1) } \\[8pt]
&= \dfrac{x^2 + 2x + 2}{ (x-2) (x^2 +1) } \\[15pt]
f'(x) &= \dfrac{x^2 + 2x + 2}{ (x-2) (x^2 +1) } f(x) \\[8pt]
&= \dfrac{x^2 + 2x + 2}{ (x-2) (x^2 +1) } \dfrac{(x-2)^2}{\sqrt{x^2 + 1}} \\[8pt]
&= \dfrac{ (x-2) (x^2 + 2x + 2) }{ (\sqrt{x^2 + 1})^3 }
\end{align*} $$
Quand on n’est pas à l’aise avec les dérivations de compositions de fonctions dans des quotients, on préférera peut-être la dérivation logarithmique. Cela reste une question de préférences.
Intégration
Des règles de différentiation précédemment vues, il en découle les règles d’intégration ci-dessous :
Soit \(u\) une fonction dérivable en \(x\) :
$$ \int \dfrac{1}{x}dx = \ln \abs{x} + C \qquad \int \dfrac{1}{u}du = \ln \abs{u} + C \qquad \int \dfrac{u'}{u}dx = \ln \abs{u} + C $$
Cette règle d’intégration résout un bon nombre de calculs d’intégrales : fractions rationnelles, fonctions trigonométriques…
Il faut reconnaître le quotient \( \dfrac{u'}{u}\).
Fractions rationnelles
Reconnaître le quotient \( \dfrac{u'}{u}\), puis intégrer :
\( \displaystyle { \int \dfrac{2}{x}dx } \)
\( \displaystyle { \int \dfrac{1}{4x -1}dx } \)
\( \displaystyle { \int_0^3 \dfrac{x}{x^2 +1}dx } \)
\( \displaystyle { \int \dfrac{3x^2 + 1}{x^3 +x}dx } \)
\( \displaystyle { \int \dfrac{x+1}{x^2+2x}dx } \)
\( \displaystyle { \int \dfrac{1}{3x + 2}dx } \)
\( \displaystyle { \int \dfrac{x^2+x+1}{x^2 + 1}dx } \)
\( \displaystyle { \int \dfrac{2x}{(x+1)^2}dx } \)
Équations différentielles
La règle d’intégration est très utilisée dans les résolutions d’équations différentielles.
Résoudre l’équation différentielle \( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{x \ln x}\)
$$\begin{align*}
y &= \int \dfrac{1}{x \ln x}dx \qquad u = \ln x, \ u' = \dfrac{1}{x} \\[8pt]
&= \int \dfrac{u'}{u}dx \\[8pt]
&= \ln \abs{u} + C \\[8pt]
y &= \ln \abs{\ln x} + C
\end{align*}$$
Résoudre l’équation différentielle \( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x-2}{x}\)
$$\begin{align*}
y &= \int \dfrac{x-2}{x}dx = \int dx - 2 \int \dfrac{1}{x}dx \\[8pt]
&= x -2 \ln\abs{x} + C
\end{align*}$$
Intégrales des fonctions trigonométriques
Avec cette même règle d’intégration, on peut compléter l’ensemble des formules d’intégration des fonctions trigonométriques.
$$\begin{align*}
\int \tan x \ dx &= \int \dfrac {\sin x}{\cos x} dx \qquad u = \cos x, \ u' = -\sin x \\[8pt]
&= \int \dfrac {-u'}{u} dx \\[8pt]
&= - \ln \abs{u} + C \\[8pt]
&= - \ln \abs{\cos x} + C
\end{align*}$$
$$\begin{align*}
\int \cot x \ dx &= \int \dfrac {\cos x}{\sin x} dx \qquad u = \sin x, \ u' = \cos x \\[8pt]
&= \int \dfrac {u'}{u} dx \\[8pt]
&= \ln \abs{u} + C \\[8pt]
&= \ln \abs{\sin x} + C
\end{align*}$$
Pour la fonction \( \sec \), la stratégie n’est pas triviale.
$$\begin{align*}
\int \dfrac {1}{\cos x} \ dx = \int \sec x \ dx &= \int \sec x \left ( \dfrac {\sec x + \tan x}{\sec x + \tan x} \right) \ dx \qquad \\[8pt]
&= \int \dfrac {\sec^2 x + \sec x \tan x}{\sec x + \tan x} dx \qquad u = \sec x + \tan x, \ u' = \sec x \tan x + \sec^2 x \\[8pt]
&= \int \dfrac {u'}{u}\ dx \\[8pt]
&= \ln \abs{\sec x + \tan x} + C
\end{align*}$$
La stratégie n’est pas non plus triviale pour la fonction \( \csc \).
$$\begin{align*}
\int \dfrac {1}{\sin x} \ dx = \int \csc x \ dx &= \int \csc x \left ( \dfrac {\csc x + \cot x}{\csc x + \cot x} \right) \ dx \qquad \\[8pt]
&= \int \dfrac {\csc^2 x + \csc x \cot x}{\csc x + \cot x} dx \qquad u = \csc x + \cot x, \ u' = - \csc x \cot x - \csc^2 x \\[8pt]
&= - \int \dfrac {u'}{u}\ dx \\[8pt]
&= - \ln \abs{\csc x + \cot x} + C
\end{align*}$$
$$\begin{align*}
& \int \cos x \ dx = \sin x + C & \int \sin x \ dx = -\cos x + C \\[10pt]
& \int \tan x \ dx = - \ln \abs{\cos x} + C & \int \cot x \ dx = \ln \abs{\sin x} + C \\[10pt]
& \int \sec x \ dx = \ln \abs{\sec x + \tan x} + C & \int \csc x \ dx = - \ln \abs{\csc x + \cot x} + C \\[10pt]
\end{align*}$$
Si on applique les propriétés des logarithmes, des équivalences de formules sont démontrées rapidement :
$$\begin{align*}
\int \tan x \ dx &= - \ln \abs{\cos x} + C \\[8pt]
&= \ln \abs{\cos x}^{-1} + C \\[8pt]
&= \ln \dabs { \dfrac{1}{\cos x} } + C \\[8pt]
&= \ln \abs{\sec x} + C
\end{align*}$$
$$\begin{align*}
\int \cot x \ dx &= \ln \abs{\sin x} + C \\[8pt]
&= - \ln \dabs { \dfrac{1}{\sin x} } + C \\[8pt]
&= - \ln \abs{\csc x} + C
\end{align*}$$
$$\begin{align*}
\int \sec x \ dx &= \ln \abs{\sec x + \tan x} + C \\[8pt]
&= \ln \dabs{ \dfrac{(\sec x +\tan x)(\sec x - \tan x)}{\sec x - \tan x}} + C \\[8pt]
&= \ln \dabs{ \dfrac{\sec^2x - \tan^2 x}{\sec x - \tan x}} + C \qquad (1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta) \\[8pt]
&= \ln \dabs{ \dfrac{1}{\sec x - \tan x}} + C \\[8pt]
&= - \ln \abs{\sec x - \tan x} + C
\end{align*}$$
$$\begin{align*}
\int \csc x \ dx &= - \ln \abs{\csc x + \cot x} + C \\[8pt]
&= - \ln \dabs{ \dfrac{(\csc x + \cot x)(\csc x - \cot x)}{\csc x - \cot x}} + C \\[8pt]
&= - \ln \dabs{ \dfrac{\csc^2x - \cot^2 x}{\csc x - \cot x}} + C \qquad (1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta) \\[8pt]
&= - \ln \dabs{ \dfrac{1}{\csc x - \cot x}} + C \\[8pt]
&= \ln \abs{\csc x - \cot x} + C
\end{align*}$$