Introduction
Dans de nombreux cas, surtout l’intégration, on a besoin de décomposer une fraction de polynômes dans laquelle le degré du polynôme du dénominateur est supérieur au degré du polynôme du numérateur :
$$\begin{align*}
\dfrac{4}{x^2 -1} &= \dfrac{2}{x-1} - \dfrac{2}{x+1} \\[8pt]
\dfrac{x^2+ 7x -2}{x^3 -x} &= \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{x-1} - \dfrac{4}{x+1}
\end{align*}$$
Règles de la décomposition en fractions partielles
Pour décomposer \(\dfrac{N(x)}{D(x)} \) en fractions partielles où \(N(x) \) et \(D(x) \) sont des fonctions polynômiales
1. Lorsque le degré du polynôme dans le numérateur \(N(x) \) est supérieur ou égal au
degré du dénominateur \(D(x) \), diviser par une division longue (euclidienne)
ou une division synthétique selon le cas
$$\begin{align*}
\dfrac{N(x)}{D(x)} = P(x) + \dfrac{N_1(x)}{D(x)}
\end{align*}$$ où le degré du polynôme de \(N_1(x) \) est inférieur au degré du polynôme \(D(x) \).
Appliquer ensuite les étapes 2, 3 et 4 pour l’expression \( \dfrac{N_1(x)}{D(x)} \).
2. Factoriser le dénominateur en facteurs de la forme \( (px+q)^m \) et \( (ax^2 + bx + c)^n \)
\( ax^2 + bx + c \) est irréductible \( \Leftrightarrow \Delta = b^2 -4ac \lt 0\) .
3. Facteurs linéaires : pour chaque facteur \( (px+q)^m \), la décomposition
en fractions partielles a la forme
$$\begin{align*}
\dfrac{A_1}{px+q} + \dfrac{A_2}{(px+q)^2} + \cdots + \dfrac{A_m}{(px+q)^m}
\end{align*}$$
4. Facteurs quadratiques : pour chaque facteur \( (ax^2 + bx + c)^n \), la décomposition
en fractions partielles a la forme
$$\begin{align*}
\dfrac{B_1x +C_1}{ax^2 + bx + c} + \dfrac{B_2x +C_2}{(ax^2 + bx + c)^2} + \cdots + \dfrac{B_nx +C_n}{(ax^2 + bx + c)^n}
\end{align*}$$
Décomposer en fractions partielles \(\dfrac{1}{x^2 -5x + 6}\)
\(x^2 -5x + 6\) est réductible : \(\Delta = b^2 - 4ac = 25 -24 = 1\).
\(x^2 -5x + 6 = (x-3)(x-2)\), donc la fraction peut être décomposée avec 2 formes linéaires :
\(\dfrac{1}{x^2 -5x + 6} = \dfrac{1}{(x-3)(x-2)} = \dfrac{A}{x-3} + \dfrac{B}{x-2}\)
\(1 = A(x-2) + B(x-3)\)
\(x=2 \implies B=-1\)
\(x=3 \implies A=1\)
$$ \implies \dfrac{1}{x^2 -5x + 6} = \dfrac{1}{x-3} - \dfrac{1}{x-2}\ $$
Décomposer en fractions partielles \(\dfrac{5x^2 +20x + 6}{x^3+2x^2+x}\)
\(x^3+2x^2+x = x(x^2+2x+1) = x(x+1)^2\).
La fraction peut être décomposée avec 2 formes linéaires :
\(\dfrac{5x^2 +20x + 6}{x^3+2x^2+x} = \dfrac{5x^2 +20x + 6}{x(x+1)^2} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x+1} + \dfrac{C}{(x+1)^2}\)
\(5x^2 +20x + 6 = A(x+1)^2 + Bx(x+1) + Cx\)
\(x=0 \implies A=6\)
\(x=-1 \implies -9=-C\ , \ C=9 \)
\( 5x^2 +20x + 6 = 6(x+1)^2 + Bx(x+1) +9x \implies B=-1 \)
$$ \implies \dfrac{5x^2 +20x + 6}{x^3+2x^2+x} = \dfrac{6}{x} - \dfrac{1}{x+1} + \dfrac{9}{(x+1)^2} $$
Décomposer en fractions partielles \(\dfrac{2x^3 -4x - 8}{(x^2-x)(x^2+4)}\)
\((x^2-x)(x^2+4) = x(x-1)(x^2+4)\).
La fraction peut être décomposée avec 2 formes linéaires, 1 forme quadratique :
\(\dfrac{2x^3 -4x - 8}{(x^2-x)(x^2+4)} = \dfrac{2x^3 -4x - 8}{x(x-1)(x^2+4)} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x-1} + \dfrac{Cx + D}{x^2 + 4}\)
\(2x^3 -4x - 8 = A(x-1)(x^2+4) + Bx(x^2+4) + x(x-1)(Cx+D)\)
\(x=1 \implies B=-2\)
\(x=0 \implies 8 = 4A\ , \ A=2 \)
\(x=-1 \implies -6 = 2(-2)(5) + (-2)(-1)(5) (-C+D)(-1)(-2) \ , \ 2 = -C + D \)
\(x=2 \implies 0 = 2(1)(8) + (-2)(2)(8) (2C +D)(2)(1) \ , \ 8 = 2C + D \)
$$
\begin{cases}
-C +D &= 2 \\
2C +D &= 8
\end{cases}
\qquad \implies C=2, \ D=4$$
$$ \implies \dfrac{2x^3 -4x - 8}{(x^2-x)(x^2+4)} = \dfrac{2}{x} - \dfrac{2}{x-1} + \dfrac{2x + 4}{x^2 + 4} $$
Décomposer en fractions partielles \(\dfrac{8x^3 + 13x}{(x^2+2)^2}\)
\((x^2+2)^2\) est irréductible. Le degré du dénominateur est supérieur au degré du numérateur.
La fraction peut être décomposée avec 1 forme quadratique :
\(\dfrac{8x^3 + 13x}{(x^2+2)^2} = \dfrac{Ax+B}{(x^2+2)} + \dfrac{Cx+D}{(x^2+2)^2} \)
\(8x^3 + 13x = (Ax+B)(x^2+2) + Cx+D \)
\(8x^3= Ax^3 \implies A=8\)
\(Bx^2 = 0 \implies B=0\)
\(x=0 \implies 2B + D = 0\ , D = 0\)
\(8x^3 + 13x = 8x(x^2+2) + Cx \implies C = -3\)
$$ \implies \dfrac{8x^3 + 13x}{(x^2+2)^2} = \dfrac{8x}{(x^2+2)} - \dfrac{3x}{(x^2+2)^2} $$
Décomposer en fractions partielles \(\dfrac{2x^3 + x^2 -7x + 7}{x^2 + x -2}\)
Le degré du dénominateur est inférieur au degré du numérateur, division longue au préalable.
$$\begin{array}
{rrrr|l} 2x^3 & x^2 & -7x & 7 & x^2 + x -2 \\ \hline
-2x^3 & -2x^2 & +4x & & 2x - 1 \\
& -x^2 & -3x & 7 & \\
& +x^2 & +x & -2 & \\
& & -2x & +5 & \\
\end{array}$$
\( \implies \dfrac{2x^3 + x^2 -7x + 7}{x^2 + x -2} = 2x - 1 + \dfrac{-2x + 5}{x^2 + x -2} \)
Le degré du dénominateur est inférieur au degré du numérateur, \( \dfrac{-2x + 5}{x^2 + x -2} \) est décomposable en fractions partielles.
\( x^2 + x -2 \) est réductible, \( \Delta=b^2 -4ac= 9 \gt 0\).
\( x^2 + x -2 = (x+2)(x-1)\)
La fraction du reste peut être décomposée avec 2 formes linéaires :
\(\dfrac{-2x + 5}{x^2 + x -2} = \dfrac{-2x + 5}{(x+2)(x-1)} = \dfrac{A}{x+2} + \dfrac{B}{x-1} \)
\(-2x + 5 = A(x-1) + B(x+2) \)
\(x=1 \implies B=1\)
\(x=-2 \implies A=-3\)
\( \dfrac{-2x + 5}{x^2 + x -2} = \dfrac{-3}{x+2} + \dfrac{1}{x-1} \)
$$ \implies \dfrac{2x^3 + x^2 -7x + 7}{x^2 + x -2} = 2x - 1 -\dfrac{3}{x+2} + \dfrac{1}{x-1} $$
Pourquoi décomposer en fractions partielles ?
On pourrait conclure : bon c’est de l’arithmétique et de la gymnastique mathématique. Pourquoi décomposer ?
Les intégrations deviennent évidentes avec la décomposition.
$$\begin{align*}
\int \dfrac{2x^3 + x^2 -7x + 7}{x^2 + x -2} \ dx &= \int (2x-1) -\dfrac{3}{x+2} + \dfrac{1}{x-1} \ dx \\[8pt]
&= \int (2x-1)\ dx -3 \int \dfrac{1}{x+2} \ dx + \int \dfrac{1}{x-1} \ dx \\[8pt]
&= x^2 -x -3 \ln \abs{x+2} + \ln \abs{x-1} +C
\end{align*}$$